Геометрия идеальной ячейки пчелиных сотов

Пчелиные соты всегда привлекали внимание исследователей своей изумительной красотой и изяществом. Не случайно многие авторы популярных изданий наделяют пчел геометрическими способностями, способностью оптимизировать свои восковые постройки с точки зрения прочности и вместимости. Однако все объясняется гораздо проще…

А.Н.Верещагин

      Пчелиные соты всегда привлекали внимание исследователей своей изумительной красотой и изяществом. Не случайно многие авторы популярных изданий наделяют пчел геометрическими способностями, способностью оптимизировать свои восковые постройки с точки зрения прочности и вместимости. Однако все объясняется гораздо проще, если обратиться к истории развития медоносных пчел.

     В книге Е. К. Еськова «Экология пчелиных» указано, что первоначально предшественники медоносных пчел строили индивидуальные гнезда в виде цилиндрических трубочек с полусферическими донцами. В процессе совместной деятельности пчел цилиндрики естественным образом редуцировались в шестигранники, а сферические донца – в трехгранные пирамидки с ромбовидными гранями.

     Экскурс в прошлое пчел позволяет полнее понять геометрию ячеек и установить их основные параметры для идеальной ячейки.

      Будем исходить из того, что угловые характеристики – углы наклона граней-ромбиков в ячейках современных пчел —  такие же, как углы наклона касательных к сферическим донцам плоскостей, проведенных к ним в точках соприкосновения сферических поверхностей.

         Рассмотрим четыре полусферических донца соприкасающихся между собой ячеек. Если в точках соприкосновения провести плоскости, касательные к сферам, до их пересечения между собой и с гранями шестигранника (рис. 1), получим пирамидку, сложенную из трех ромбиков.

   

                                  Рис. 1                                                 Рис. 2

    Большие диагонали ромбиков на рисунке отмечены пунктирными линиями. Эти диагонали можно принять за характерный размер ячейки, поскольку их длина совпадает с диаметром вписанной в шестигранник окружности.  В дальнейшем треугольник, составленный из диагоналей ромбиков, будем принимать за основание пирамидки. Вершина пирамидки на рис. 1 направлена за плоскость рисунка.

         Для облегчения определения характерных размеров ячейки выполним дополнительное построение.

     Соединим центры четырех сфер. Получится тетраэдр (рис. 2), причем точки соприкосновения сфер будут находиться посередине его ребер. Длина ребра тетраэдра является как раз характерным размером — диаметром ячейки. Все остальные величины можно выразить через этот характерный размер.

      Параметры тетраэдра, в частности, углы наклона ребер и граней, легко определяются. Так, углы наклона ребер тетраэдра к основанию составляют 54,73560, а для граней – 70,52880.

     Отметим,  что  боковые  ребра  тетраэдра  ортогональны  к соответствующим граням трехгранного основания ячейки и, в свою очередь, боковые ребра основания ячейки ортогональны к граням тетраэдра. Вычитая приведенные выше углы из 900, получим угол наклона ромбовидных граней основания  ячейки и угол наклона ребер – стыка двух таких граней. Они, соответственно, будут равны 35,26440 и 19,47120. Далее определятся острый и тупой углы ромбиков – 70,52880 и 109,47120 и двугранный угол между плоскостями этих ромбиков 1200.

       Эти параметры соответствуют вощине «максимум». Между тем все воскоперерабатывающие предприятия России вырабатывают вощину «полумаксимум» с двугранным углом между плоскостями ромбиков 1300.  Глубина ячеек сотов, отстраиваемых пчелами на вощине «полумаксимум», меньше, чем в идеале, хотя объем одинаков.

      Углы ромбиков обычно приводятся в популярных изданиях для пчеловодов. Однако для конструкторов важны не только характеристики ромбиков, но и другие параметры ячеек.

    Толчком к размышлениям о геометрии ячеек послужила давняя публикация в журнале «Пчеловодство», в которой автор рекомендовал выставлять режущий инструмент при обработке рабочей поверхности предлагаемого им устройства для изготовления вощины под таким же углом, какой имеют грани донцев вощины. Однако сам угол не назывался. Попытки найти эти данные в литературе к успеху не привели. Пришлось решать задачу самому. Надеюсь, что полученный результат будет интересен посетителям сайта и окажется полезен при разработке нового оборудования для производства вощины..

 Анатолий Верещагин

 614000, Пермь, а/я 29. E-mail bee@psu.ru

тел./факс (3422) 12-41-62